PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN
LINEAR
SATU VARIABEL
A. Persamaan Linear Satu Variabel
1.
Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta
a.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai
kebenarannya.
b.
Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang
dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan
c.
Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu
Pada kalimat berikut x + 5 = 12
Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah,
sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang
bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika
(x) diganti dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti
dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti
menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari
bentuk diatas
x+5 +12 (kalimat
terbuka)
3+ 5 = 12 (kalimat Salah
)
7+5 = 12 (kalimat benar)
Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12
disebut konstanta
Contoh :
Kalimat Terbuka
|
Peubah
|
Konstanta
|
x + 13 + 17
|
x
|
13 dan 17
|
7 – y = 12
|
y
|
7 dan 12
|
4z – 1 = 11
|
z
|
-1 dan 11
|
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel
dan belum diketahui nilai kebenarannya.
contoh:
x + 2 =5
2. Pengertian Persamaan Linier Satu Variabel
Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan
tanda sama dengan ( “=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 .
bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0
contoh :
1.
x + 3 – 7
2.
3a + 4 = 19
3.
= 10
Pada contoh diatas x, a, b adalah variable (peubah) yang dapat diganti
dengan sembarang bilangan yang memenuhi .
3. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Himpuana Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari
penyelesaian-penyelesaian suatu persamaan .
Ada dua
cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu
persamaan linier satu variable , yaitu :
a.
Subtitusi ;
b.
Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen,
dengan cara :
a.
Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
b.
Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.
Contoh :
1.
Dengan menggunakan kode cara diatas , selesaikan persamaan 3x-1=14; jika
x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !
Jawab :
3x-1+14 x Є P = (3,4,5,6)
a.
Cara subtitusi :
3x-1= 14; jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)
3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11
(salah)
3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14
(benar)
3x-1= 14; jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17
(salah)
Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5
b.
Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
|
Persamaan
|
Operasi Hitung
|
Hasil
|
A
b.
c.
|
3x-1=14 (i)
|
Kedua ruas ditambah 1
|
3x-1+1 = 14 + 1
3x =
15
(ii)
|
3x = 15
|
Kedua ruas dikalikan 1/3
|
3x = 15
x = 5 (iii)
|
|
X =5
|
|
|
Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka
persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .
(a)
3x-1=14
3 (5) – 1 = 14
14 = 14 (ekuivalen)
(b). 3x
=15
15 = 15 (ekuivalen)
(c) x =
5
5 = 5 (ekuivalen)
Berarti 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen .
4. Persamaan yang ekuivalen
Persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki
himpunan penyelesaian sama jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi
tertentu suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan tanda
Contoh :
1.
Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan
contoh :
Carilah penyelesaian dari :
3 (3x + 4) = 6 ( x -2)
jawab :
9x + 12 = 6x – 12
9x – 6x = -12-12
3x = -24
x =− 24/3
= -8
Jadi , HP = {-8}
2.
Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan
bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat
dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai
berikut :
Jawab :
6x – 3 = 2x + 1
6x – 3 + 3 = 2x + 1+3
6x
= 2x + 4
6x – 2x = 4
4x
= 4
x
= 1
jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1
dalam garis bilangan , grafik hipunan pnyelesaian suatu persamaan dengan
satu variable dinyatakan dengan sebuah noktah (titik) yang ditebalkan. Jadi
grafik himpunan penyelesaian dari 6x – 3 = 2x + 1 adalah :
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4
Contohnya :
Gambarlah grafik penyelesaian persamaan berikut
1.
–P + 2 = 14
Jawab :
–P + 2 = 14
-p
= 14 – 2
-p
= 12
Grafik :
-14 -13
-12 -11 -10
Titik pada -12 ditebalkan
2.
2a + 3 = 6
2a = 6 – 3
2a = 3
a =
grafik :
Titik
pada ditebalkan .
B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)
1. Pertidaksamaan
Linier Satu Variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat
terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan ≤ . Contohnya
bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4
Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah
suatu kalimat terbuka
yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu,
yang
dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan ≤.
Variablenya hanya satu
yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian
disebut
pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).
2. Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan
Linier Satu variable
Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :
1.
Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang
dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang
ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
2.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka
akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
3.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka
akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik
4.
Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah
mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya
hilang .
Contoh 1 :
1.
Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan
anggota {1,2,3,4,… ,15}
Jawab :
3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}
3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2
( kedua ruas dikurangi 2x)
x – 7 > 2
x – 7 + 7 > 2 +
7
( kedua ruas dikurangi7 )
x > 9
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli ≤
15}
HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}
Contoh 2 :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3 dengan x
variable pada himpunan bilangan cacah.
Jawab :
3x – 1 < x +
3
3x – 1+ 1 < x
+ 3 + 1
(kedua
ruas ditambah 1 )
3x < x +
4
3x + (-x) < x
+ (-x) +4
(kedua ruas ditambah – x)
2x < 4
X < 2
Karena x anggota
bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1
Jadi himpunan
pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .
Dalam garis
bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut
-1 0
1 2
3 4 5
Penyelesaian
Contoh :
x +
< 6 +
x
< 6 + -
x
< 4 +
x -
< 4
-
< 4
< 4
-x
< 4 . 6
X
> -24
Contoh :
Sebuah perahu
angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1 ton . jika sebuah
kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh
perahu ?
Jawab :
Kalimat
matematika : 15 kg x ≤ 1 ton
Penyelesaian :
15 kg x ≤ 1 .500 kg
x ≤ 1 .500 kg
15 kg
x ≤ 100
jadi perahu
paling banyak mengangkut 100 kotak .
No comments:
Post a Comment